Lösung 1: Ursache sind fehlende Verzeichnisrechte – setze die Berechtigung von wp-content/uploads auf 755.
Manche Webseiten behaupten, man müsse hier 777 vergeben. Das ist wirklich nicht zu empfehlen, siehe unten.
Lösung 2: In Einstellungen -> Medien unter Upload den Pfad kontrollieren. Hat man bspw. WordPress migriert, steht hier u.U. nocho der gesamte PFad des alten Servers, der dann natürlich nicht mehr funktioniert.
Es ist völlig ausreichend, hier ausschließlich wp-content/uploads einzutragen.
Warum vergebe ich nicht generell überall 777 ?
777 ist das höchst mögliche Recht und man sollte damit vorsichtig umgehen. Insbesondere ausführen ist gefährlich, da nicht alle hochgeladenen Dateien immer gutartig sein müssen. Eine ausführbare Datei könnten auch ein Rootkit sein.
Es gibt natürlich Fälle, in denen 777 benötigt werden, dann solltest Du aber genau wissen, was Du da tust.